Доступная математика:
теория вероятности для любого уровня
теория вероятности для любого уровня
У тебя на носу Олимпиада? Экзамен? А может просто сильно захотелось узнать что-нибудь новое? Отлично! Здесь тебе самое место!
Вступление
Теория вероятности как самостоятельная наука была оформлена относительно недавно - лишь в 20-х годах прошлого века, однако идеи исследования случайных событий, в особенности связанных с играми вроде костей и карт, тянутся с самых Средних веков. Азарт – двигатель прогресса? Принимая во внимание, что к настоящему моменту теория вероятности повлияла на различные области, от лингвистики до физики, от биологии до экономики, ответ можно считать утвердительным.
В каких же конкретно областях ты можешь использовать знания теории вероятности сегодня? Как и было сказано выше, практически в любых, однако если ты школьник и участвуешь в олимпиаде НТИ, то вот в каких профилях тебе однозначно пригодится ТерВер:
1. Большие данные и машинное обучение.
2. Виртуальная и дополненная реальность.
3. Финансовые технологии.
4. Интеллектуальные энергетические системы.
5. Интеллектуальные робототехнические системы.
1. Большие данные и машинное обучение.
2. Виртуальная и дополненная реальность.
3. Финансовые технологии.
4. Интеллектуальные энергетические системы.
5. Интеллектуальные робототехнические системы.
В этих профилях мы выделили самые важные и нужные темы, которые фигурируют в задачниках прошлых лет, и собрали их в этом лонгриде. Ты можешь идти по курсу последовательно, а можешь уделить внимание интересным и важным для тебя разделам. В целом курс содержит в себе 6 тем:
1) Типы событий.
2) Комбинаторика.
3) Классическое определение вероятности.
4) Геометрическое определение вероятности.
5) Сложение, умножение вероятностей. Полная формула вероятности.
6) Схема Бернулли.
1) Типы событий.
2) Комбинаторика.
3) Классическое определение вероятности.
4) Геометрическое определение вероятности.
5) Сложение, умножение вероятностей. Полная формула вероятности.
6) Схема Бернулли.
В некоторых блоках, а также в конце лонгрида, будут даны дополнительные ресурсы для самостоятельного ознакомления, решения задач и просто разбора всего того, что осталось непонятным. Не бойся ими пользоваться!
Удачи!
Удачи!
Часть Первая
В которой мы разберёмся с основными типами событий.
Самый распространённый и простой пример, на котором все стараются объяснять и понимать базовые принципы теории вероятности - это монетка. Не будем уходить далеко с проторенной дороги и попробуем разобраться в типах событий с её помощью.
Начнём разбор типов событий, опираясь на схему справа. Первый уровень типов: достоверные, невозможные и случайные. Возьмём нашу монетку. Подкидывая её, мы точно знаем, что в итоге она упадёт (слава гравитации!). Это событие будем называть достоверным. Также мы точно знаем, что монета не сможет от простого подкидывания взять и улететь в космос. Это событие невозможное. Помимо всего прочего, нам понятно, что итогом подкидывания будет то, что монетка упадёт одной из двух сторон, однако мы не можем гарантировать какой. Это событие случайное.
С простым разобрались, теперь перейдём к интересному.
Для начала рассмотрим события зависимые и независимые. Здесь нам, помимо старой доброй монетки, понадобятся ещё и карты.
Что такое независимые события? Возьмём монетку и подбросим её два раза. Результаты обоих бросков никак не зависят друг от друга, то есть они независимы. А что случится, если мы решим вытянуть из колоды 2 карты подряд? Вытянув первую, ничего особенного не произойдёт, однако, когда мы будем вытягивать вторую, изначальная колода уже будет уменьшена на одну конкретную карту, то есть результат первого вытягивания влияет на результат второго хотя бы тем, что одну карту два раза мы в этой ситуации вытянуть не сможем. Получается, что второе вытягивание зависит от результатов первого.
Что такое независимые события? Возьмём монетку и подбросим её два раза. Результаты обоих бросков никак не зависят друг от друга, то есть они независимы. А что случится, если мы решим вытянуть из колоды 2 карты подряд? Вытянув первую, ничего особенного не произойдёт, однако, когда мы будем вытягивать вторую, изначальная колода уже будет уменьшена на одну конкретную карту, то есть результат первого вытягивания влияет на результат второго хотя бы тем, что одну карту два раза мы в этой ситуации вытянуть не сможем. Получается, что второе вытягивание зависит от результатов первого.
Для того, чтобы разобраться с оставшимися четырьмя видами событий предлагаю немного отдохнуть от чтения и посмотреть видеоурок. Небольшая смена деятельности никому не может навредить! Однако если ты большой любитель почитать, то я оставлю для тебя ссылочку на полезную статью по этой теме. :)
А вот и обещанная ссылочка.
Итак, ты закончил разбираться с типам событий. Поздравляю! Ты восхитителен!
Оставайся здесь, потому что дальше мы начнём потихоньку решать задачки, а что может быть интереснее задачек, тем более когда они очень простые?
Часть Вторая
В которой мы немного поупражняемся в комбинаторике.
Комбинаторика является большим разделом дискретной математики и может, при большом желании, здорово загрузить своими задачами. К счастью, это лонгрид по теории вероятности, а для неё достаточно небольшого кусочка комбинаторики с несколькими формулами.
Итак, нам понадобятся формулы для:
1. Правила умножения
2. Размещений
3. Перестановок
4. Сочетаний
1. Правила умножения
2. Размещений
3. Перестановок
4. Сочетаний
1.
Правило умножения
Пусть у нас есть 2 игральные кости, которые мы очень любим побросать просто так. В один прекрасный день в наши головы приходит один вопрос: а сколько всего может быть исходов у этих подбрасываний?
Тут конечно можно взять ручку и бумагу, закатать рукава и начать расписывать всевозможные варианты, которых в итоге получим 36. И вроде ответ найден и мы довольны, пока к нам не закрадывается страшная мысль: а что, если бы костей у нас было не две, а три, или даже 4? Через какой ад пришлось бы нам пройти, чтобы расписать все варианты?
На самом деле адом тут и не пахнет, потому что решение можно найти по максимально простой формуле:
N = n1*n2*n3*... ,
где N - это искомое общее количество исходов, n1 - это количество исходов в первом множестве, n2 - количество исходов во втором множестве и т.д.
Посмотрим опять на наши две игральные кости. Количество исходов первого множества, или другими словами броска первой кости, равно 6. Количество исходов второго множества, или другими словами броска второй кости, тоже равно 6. Получаем, что общее количество N = 6*6 = 36. Прямо как при нашем "ручном" подсчёте!
Самостоятельное задание:
Ради интереса можешь посчитать, сколько исходов может быть при подбрасывании трёх и четырёх костей. Это не обязательно и совсем не важно для дальнейших задач, но почему бы не посмотреть и не ужаснуться тому, столько вариантов бы пришлось перебирать вручную?
Правило умножения
Пусть у нас есть 2 игральные кости, которые мы очень любим побросать просто так. В один прекрасный день в наши головы приходит один вопрос: а сколько всего может быть исходов у этих подбрасываний?
Тут конечно можно взять ручку и бумагу, закатать рукава и начать расписывать всевозможные варианты, которых в итоге получим 36. И вроде ответ найден и мы довольны, пока к нам не закрадывается страшная мысль: а что, если бы костей у нас было не две, а три, или даже 4? Через какой ад пришлось бы нам пройти, чтобы расписать все варианты?
На самом деле адом тут и не пахнет, потому что решение можно найти по максимально простой формуле:
N = n1*n2*n3*... ,
где N - это искомое общее количество исходов, n1 - это количество исходов в первом множестве, n2 - количество исходов во втором множестве и т.д.
Посмотрим опять на наши две игральные кости. Количество исходов первого множества, или другими словами броска первой кости, равно 6. Количество исходов второго множества, или другими словами броска второй кости, тоже равно 6. Получаем, что общее количество N = 6*6 = 36. Прямо как при нашем "ручном" подсчёте!
Самостоятельное задание:
Ради интереса можешь посчитать, сколько исходов может быть при подбрасывании трёх и четырёх костей. Это не обязательно и совсем не важно для дальнейших задач, но почему бы не посмотреть и не ужаснуться тому, столько вариантов бы пришлось перебирать вручную?
Здесь можно сразу посмотреть на формулы, но не стоит пугаться, на практике они оказываются очень простыми.
2.
Размещения
Представьте, что едете в поезде с 10-ю вагонами, и вам жизненно необходимо рассмотреть все варианты, в которых вы можете разместить 4-х человек по этим вагонам так, чтобы каждый ехал в одиночку. Как сделать это быстро и просто? Использовать формулу размещений (Она есть на схеме выше). Здесь n = 10 - количество различных элементов нашего множества вагонов, а k = 4 - это количество выбранных элементов, которые необходимо разместить. Проведя небольшие расчёты, получим, что количество размещений
А = 10!/6! = 720.
Размещения
Представьте, что едете в поезде с 10-ю вагонами, и вам жизненно необходимо рассмотреть все варианты, в которых вы можете разместить 4-х человек по этим вагонам так, чтобы каждый ехал в одиночку. Как сделать это быстро и просто? Использовать формулу размещений (Она есть на схеме выше). Здесь n = 10 - количество различных элементов нашего множества вагонов, а k = 4 - это количество выбранных элементов, которые необходимо разместить. Проведя небольшие расчёты, получим, что количество размещений
А = 10!/6! = 720.
3.
Перестановки
Рассмотрим следующую ситуацию: тебе дали задание из букв слова МАЯК составить максимальное количество комбинаций. Чтобы не прогадать с количеством здесь хорошо сработает формула перестановок (Она есть на схеме выше). Здесь всё максимально просто - в заданном слове всего 4 буквы, и все они различны, т.е. n = 4, тогда P = 4! = 24.
Задача может усложниться. Пусть было дано слова КАРМА. 5 букв, но одна из них повторяется 2 раза. В таком случае количество перестановок будет искаться как P = 5!/2! = 60, где 2! в знаменателе - это количество повторений буквы А.
Перестановки
Рассмотрим следующую ситуацию: тебе дали задание из букв слова МАЯК составить максимальное количество комбинаций. Чтобы не прогадать с количеством здесь хорошо сработает формула перестановок (Она есть на схеме выше). Здесь всё максимально просто - в заданном слове всего 4 буквы, и все они различны, т.е. n = 4, тогда P = 4! = 24.
Задача может усложниться. Пусть было дано слова КАРМА. 5 букв, но одна из них повторяется 2 раза. В таком случае количество перестановок будет искаться как P = 5!/2! = 60, где 2! в знаменателе - это количество повторений буквы А.
4.
Сочетания
Самая используемая формула в теории вероятности - формула сочетаний. Разберём её так же на простом примере.
В группе по рисованию из 10 человек дали задание - разбиться по двое и рисовать друг друга. Сколько всего способов образования пар возможно в этой группе? Смотрим на формулу сочетаний на схеме и определяем, что n = 10 - количество элементов группы, а k = 2 - размер желаемых подгрупп. Тогда, подставляя все данные в формулу, получаем, что C = 10!/(2!*8!) = 45 вариантов сочетаний.
Сочетания
Самая используемая формула в теории вероятности - формула сочетаний. Разберём её так же на простом примере.
В группе по рисованию из 10 человек дали задание - разбиться по двое и рисовать друг друга. Сколько всего способов образования пар возможно в этой группе? Смотрим на формулу сочетаний на схеме и определяем, что n = 10 - количество элементов группы, а k = 2 - размер желаемых подгрупп. Тогда, подставляя все данные в формулу, получаем, что C = 10!/(2!*8!) = 45 вариантов сочетаний.
Если что-то для тебя осталось непонятным, то советую посмотреть информацию и задачки по этим ссылкам:
1) Основные формулы комбинаторики
2) Разбор задач по комбинаторике
3) Комбинаторика - олимпиаднику
1) Основные формулы комбинаторики
2) Разбор задач по комбинаторике
3) Комбинаторика - олимпиаднику
А пока базовые понятия комбинаторики усвоены. Поздравляю! Ты изумителен!
Теперь можно переходить к понятию вероятности!
Часть Третья
В которой мы познакомимся с классическим определением теории вероятности!
Давай возьмём с тобой монетку и подбросим её 2 раза. У меня выпали два орла. Какова вероятность такого исхода? Попробуем посчитать, используя классическое определение вероятности.
Для начала рассмотрим число всевозможных исходов, обозначив Р - решка, О - орёл:
{(О, Р), (Р, О), (О, О), (Р, Р)}.
Итого, всего исходов может быть 4. Совсем немного, правда? А событие, в котором выпадает два орла - воообще одно. Отсюда получаем, что вероятность равна 1/4.
Теперь давай попробую отгадать, что выпало у тебя. Орёл и решка? Вероятность что я отгадаю равна 1/2, так как из всех возможных исходов есть два, удовлетворяющих выпадению орла и решки, т.е. 1/4+1/4 = 1/2. Надеюсь я угадала!
А какова будет вероятность того, что в двух подкидываниях выпадет хотя бы один орёл? Посмотрим на все исходы и увидим, что орёл появляется минимум один раз в трёх случаях из 4-х, получаем, что вероятность равна 3/4.
Для начала рассмотрим число всевозможных исходов, обозначив Р - решка, О - орёл:
{(О, Р), (Р, О), (О, О), (Р, Р)}.
Итого, всего исходов может быть 4. Совсем немного, правда? А событие, в котором выпадает два орла - воообще одно. Отсюда получаем, что вероятность равна 1/4.
Теперь давай попробую отгадать, что выпало у тебя. Орёл и решка? Вероятность что я отгадаю равна 1/2, так как из всех возможных исходов есть два, удовлетворяющих выпадению орла и решки, т.е. 1/4+1/4 = 1/2. Надеюсь я угадала!
А какова будет вероятность того, что в двух подкидываниях выпадет хотя бы один орёл? Посмотрим на все исходы и увидим, что орёл появляется минимум один раз в трёх случаях из 4-х, получаем, что вероятность равна 3/4.
Предлагаю посмотреть на ещё один наглядный пример - бросание кубиков.
Ещё одна классическая задача - задача на вытягивание шаров из урны. Здесь уже мы задействуем наши знания из комбинаторики, а именно - формулу сочетаний.
Отойдём немного от стандартных примеров и попробуем решить парочку задач поинтересней.
1. Револьвер
Домино, преследуя наемника, загоняет его в тупик. У Домино при себе есть шестизарядный револьвер, в который она вставляет подряд два патрона, приставляет к своему виску и спускает курок. Пусто. Затем она приставляет револьвер к голове наемника и говорит: «Я могу сейчас прокрутить барабан, а могу оставить так. Как тебе больше нравится?» Что надо ответить наемнику, чтобы увеличить свои шансы на выживание?
Решение:
Рассмотрим 2 случая.
Первый случай – прокрутить барабан. В этой ситуации всё просто, при прокрутке барабана может выпасть любой заряд из 6-ти, значит вероятность того, что наемнику достанется пустой заряд равна 4\6 = 2\3.
Второй случай – не крутить барабан. Здесь уже надо понимать, что события первого выстрела и второго - зависимы. При первом выстреле выпал пустой заряд, т.е. общее число исходов теперь - 4. Из них благоприятными, то есть теми, при которых наёмник не ловит пулю, являются 3. Тогда вероятность того, что наемнику не достанется пуля равна 3\4.
Следовательно, выгоднее не крутить барабан.
Если осталось недопонимание, то настоятельно советую тебе нарисовать злосчастный барабан с патронами, очень помогает!
1. Револьвер
Домино, преследуя наемника, загоняет его в тупик. У Домино при себе есть шестизарядный револьвер, в который она вставляет подряд два патрона, приставляет к своему виску и спускает курок. Пусто. Затем она приставляет револьвер к голове наемника и говорит: «Я могу сейчас прокрутить барабан, а могу оставить так. Как тебе больше нравится?» Что надо ответить наемнику, чтобы увеличить свои шансы на выживание?
Решение:
Рассмотрим 2 случая.
Первый случай – прокрутить барабан. В этой ситуации всё просто, при прокрутке барабана может выпасть любой заряд из 6-ти, значит вероятность того, что наемнику достанется пустой заряд равна 4\6 = 2\3.
Второй случай – не крутить барабан. Здесь уже надо понимать, что события первого выстрела и второго - зависимы. При первом выстреле выпал пустой заряд, т.е. общее число исходов теперь - 4. Из них благоприятными, то есть теми, при которых наёмник не ловит пулю, являются 3. Тогда вероятность того, что наемнику не достанется пуля равна 3\4.
Следовательно, выгоднее не крутить барабан.
Если осталось недопонимание, то настоятельно советую тебе нарисовать злосчастный барабан с патронами, очень помогает!
2. Парадокс Монти Холла
Интересная вещь, которая, при всей своей простоте, может и не дойти с первого раза. Но у тебя обязательно получится!
Интересная вещь, которая, при всей своей простоте, может и не дойти с первого раза. Но у тебя обязательно получится!
Больше задач на классическое определение теории вероятности можешь посмотреть по этим ссылкам:
1. Здесь
2. И вот здесь
1. Здесь
2. И вот здесь
Ого, ты уже закончил третий блок?
Поздравляю! Ты поразителен!
Поздравляю! Ты поразителен!
Через тернии к звёздам, или к геометрическому определению вероятности!
Часть Четвёртая
В которой мы посмотрим на геометрическое определение вероятности (которое фактически такое же, как и классическое!).
Геометрическое определение действительно аналогично классическому. Разница заключается в том, что под общим и благоприятным числом исходов подразумевается какая-то геометрическая мера - длина, площадь или объём. На геометрическую вероятность есть несколько типовых примеров, которые мы посмотрим.
1. Задача о встрече
1. Задача о встрече
2. Монетка. Опять.
Больше задач на геометрическое определение теории вероятности можешь посмотреть по этим ссылкам:
1. Здесь
2. И вот здесь
1. Здесь
2. И вот здесь
Геометрическая вероятность закончилась быстро и просто?
Поздравляю! Ты невероятен!
Поздравляю! Ты невероятен!
А теперь двинемся к понятию полной вероятности!
Часть Пятая
Где мы будем складывать, умножать, находить полные вероятности, в общем заниматься самым интересным!
А начнём мы, пожалуй, с теорем о сложении и умножении вероятностей, которые различаются для разных видов событий:
Теорема о сложении вероятностей несовместных событий
Теорема:
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Пример:
Здесь всё просто, для понимания хватит одного игрального кубика. Как мы знаем, выпадение значений от 1 до 6 при подбрасывании кубика - события равновозможные и несовместные, так как за одно подбрасывание нам не может выпасть больше одного значения. То есть, для нахождения вероятности того, что выпадет не меньше пяти очков нам всего лишь нужно сложить вероятности двух событий: выпадения 5 и выпадения 6 очков.
1/6+1/6 = 1/3.
Теорема:
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Пример:
Здесь всё просто, для понимания хватит одного игрального кубика. Как мы знаем, выпадение значений от 1 до 6 при подбрасывании кубика - события равновозможные и несовместные, так как за одно подбрасывание нам не может выпасть больше одного значения. То есть, для нахождения вероятности того, что выпадет не меньше пяти очков нам всего лишь нужно сложить вероятности двух событий: выпадения 5 и выпадения 6 очков.
1/6+1/6 = 1/3.
Теорема об умножении вероятностей независимых событий
Теорема:
Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий:
Р(А × В) = Р(А) × Р(В).
Пример:
Возьмём для примера обычного студента, у которого в сессии 3 экзамена. Он знает, что вероятность сдать 1ый экзамен = 0.9, второй = 0.8, а третий = 0.7. Какова же вероятность того, что он сдаст все три? Ну, несложно догадаться, что общая вероятность будет равна произведению, так как все три событий являются независимыми друг от друга. Итого:
А = 0.9*0.8*0.7 = 0.504.
Теорема:
Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий:
Р(А × В) = Р(А) × Р(В).
Пример:
Возьмём для примера обычного студента, у которого в сессии 3 экзамена. Он знает, что вероятность сдать 1ый экзамен = 0.9, второй = 0.8, а третий = 0.7. Какова же вероятность того, что он сдаст все три? Ну, несложно догадаться, что общая вероятность будет равна произведению, так как все три событий являются независимыми друг от друга. Итого:
А = 0.9*0.8*0.7 = 0.504.
Теорема об умножении вероятностей зависимых событий
Перед тем, как перейти к теореме, введём одно очень важное понятие:
Условная вероятность - это вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Обозначается как Р(В/А).
Теорема:
Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
Р (А × В) = Р(А) × Р(В/А).
Пример:
Вернёмся к студентам и их экзаменам. Пусть среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых» и 20 «несчастливых». Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. Какова вероятность того, что первый из них вытянет счастливый, а второй - несчастливый?
Решение:
Обозначим событие «первый студент взял счастливый билет» через A, а событие «второй студент взял несчастливый билет» через B.
Вероятность первого события равна: Р(A) = 5/25 = 0,2. После взятия первого билета их общее количество уменьшилось на 1, значит вероятность вытянуть несчастливый второй билет при условии, что первый студент уже взял один билет: Р(B/А) = 20/24 = 0,83.
В результате, вероятность того, что первый студент возьмет счастливый билет, а второй - несчастливый, вычисляется по формуле из теоремы:
Р(А×В)=Р(А)× Р(В/А) = 0,2×0,83 = 0,166.
Перед тем, как перейти к теореме, введём одно очень важное понятие:
Условная вероятность - это вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Обозначается как Р(В/А).
Теорема:
Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
Р (А × В) = Р(А) × Р(В/А).
Пример:
Вернёмся к студентам и их экзаменам. Пусть среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых» и 20 «несчастливых». Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. Какова вероятность того, что первый из них вытянет счастливый, а второй - несчастливый?
Решение:
Обозначим событие «первый студент взял счастливый билет» через A, а событие «второй студент взял несчастливый билет» через B.
Вероятность первого события равна: Р(A) = 5/25 = 0,2. После взятия первого билета их общее количество уменьшилось на 1, значит вероятность вытянуть несчастливый второй билет при условии, что первый студент уже взял один билет: Р(B/А) = 20/24 = 0,83.
В результате, вероятность того, что первый студент возьмет счастливый билет, а второй - несчастливый, вычисляется по формуле из теоремы:
Р(А×В)=Р(А)× Р(В/А) = 0,2×0,83 = 0,166.
Теорема о сложении вероятностей совместных событий
Теорема:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А × В).
События в этой формуле могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Для независимых событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) × Р(В).
Для зависимых событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) × Р(В/А).
Пример:
Поговорим теперь об абитуриентах. Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ. Обозначим вероятность попасть в первый вуз р1=0,5, во второй р2=0,3. Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов?
Решение:
Каждое событие независимое, значит для независимых событий выбираем формулу для независимых событий:
Р(А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(А) × Р(В) = р1+ р2 – р1× р2 = 0,5 + 0,3 – 0,5 ∙ 0,3=0,65.
Теорема:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А × В).
События в этой формуле могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Для независимых событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) × Р(В).
Для зависимых событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) × Р(В/А).
Пример:
Поговорим теперь об абитуриентах. Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ. Обозначим вероятность попасть в первый вуз р1=0,5, во второй р2=0,3. Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов?
Решение:
Каждое событие независимое, значит для независимых событий выбираем формулу для независимых событий:
Р(А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(А) × Р(В) = р1+ р2 – р1× р2 = 0,5 + 0,3 – 0,5 ∙ 0,3=0,65.
Тяжко? Зато полезно! А пока усвоенный материал совсем не стёрся из памяти, попробуем разобрать ещё одну задачку, которая выглядит круто и сложно, но на самом деле решается также просто, как и задачи из примеров!
Задача на надёжность системы
Задача на надёжность системы
Теперь ты разбираешься в том, как нужно складывать и умножать вероятности различных событий. Очень хорошо! Наконец мы подошли к финальной и главной части этой темы - формуле полной вероятности. Для начала взглянем на определения и теорему, а потом уже разберёмся что к чему на примере.
Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H1, H2,..., Hn, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: Р(H1), Р(H2), . . . ,Р(Hn) и условные вероятности: Р(А/H1), Р(А/H2), . . . ,Р(А/Hn). Требуется найти вероятность Р(А).
А для того, чтобы понять, что же всё-таки значит эта странная формула, вернёмся к одной из классический задач и узнаем кое-что ещё о шарах.
Ну, самое сложное оказалось тебе по плечу.
Поздравляю! Ты супер!
Поздравляю! Ты супер!
А напоследок разберёмся, что там напридумывал Бернулли.
Часть Шестая
Где мы поэкспериментируем с Бернулли!
Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.
В основном схему Бернулли используют для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов. Однако при ознакомлении с этой схемой чаще всего используют примеры с выстрелами, булочками, подбрасываниями, лотерейными билетами и всем тем, что понятно и доступно каждому. Именно такие задачи мы и посмотрим.
1. Эксперимент с попаданиями
2. Немного об акциях
Пометочка: В этой задаче стоит обратить внимание на пункт (2в), потому что в нём показывается стандартный приём решения задач с условием "хотя бы".
Пометочка: В этой задаче стоит обратить внимание на пункт (2в), потому что в нём показывается стандартный приём решения задач с условием "хотя бы".
Эксперименты Бернулли увенчались успехом!
Поздравляю! Ты лучше всех!
Поздравляю! Ты лучше всех!
На этом наш небольшой курс Теории Вероятности можно считать закрытым!
Не забывай просматривать дополнительные источники информации для нахождения новых интересных задач и никогда не останавливайся на достигнутом <3
Не забывай просматривать дополнительные источники информации для нахождения новых интересных задач и никогда не останавливайся на достигнутом <3
Здесь я как раз оставлю некоторые ресурсы, которые ты можешь использовать.
1. Теория вероятности, базовые термины и понятия
2. Учебник по теории вероятности онлайн
3. УМП по теории вероятности
4. Теория вероятности, практикум
5. Курс на Stepik по теории вероятности
1. Теория вероятности, базовые термины и понятия
2. Учебник по теории вероятности онлайн
3. УМП по теории вероятности
4. Теория вероятности, практикум
5. Курс на Stepik по теории вероятности
